Question

如圖，扇形OAB的半徑OA=3，圓心角∠AOB=90°，點C是弧AB上異于A、B的動點，過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，連結DE，點G、H在線段DE上，且DG=GH=HE

（1）求證：四邊形OGCH是平行四邊形；
（2）當點C在弧AB上運動時，在CD、CG、DG中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度；
（3）求證：是定值.

Answer 1

（1）連結OC，交DE于M，

∵四邊形ODCE是矩形
∴OM＝CM，EM＝DM
又∵DG=HE
∴EM－EH＝DM－DG，即HM＝GM
∴四邊形OGCH是平行四邊形
（2）DG不變；
在矩形ODCE中，DE＝OC＝3，所以DG＝1
（3）作HF⊥CD于點F，則△DHF∽△DEC
∴
∴
∴
∵HF²=CH²－CF²=DH²－DF²，DH=2
∴CH²－=2－
整理，得
∴="12"

（1）連接OC，容易根據已知條件證明四邊形ODCE是矩形，然后利用其對角線互相平分和DG=GH=HE可以知道四邊形CHOG的對角線互相平分，從而判定其是平行四邊形；
（2）由于四邊形ODCE是矩形，而矩形的對角線相等，所以DE=OC，而CO是圓的半徑，這樣DE的長度不變，也就DG的長度不變；
（3）過C作CN⊥DE于N，設CD=x，然后利用三角形的面積公式和勾股定理用x表示CN，DN，HN，再利用勾股定理就可以求出CD²+3CH²的值了．