Question

如圖，半徑為2的圓內接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圓的直徑，上底CD的端點在圓周上，則該梯形周長的最大值是

 

．

Answer 1

分析：根據圓心為O，則OA=OB=OC=OD=2，設腰長為x，設上底長是2b，利用勾股定理得出，則x²-（2-b）²=R²-b²=CP²，再利用二次函數最值求出即可．

解答：解：圓心為O，連接OD，OC，過O作OE⊥CD，過C作CP⊥OB，
∴E為DC的中點，DE=CE=

1

2

CD=b，
∵等腰梯形ABCD，
∴DC∥AB，OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴∠CEO=∠EOP=∠OPC=90°，
∴四邊形EOPC為矩形，
∴EC=OP，

則OA=OB=OC=OD=2，設腰長為x，
設上底長是2b，過C作直徑的垂線，垂足是P，
則CP²=OC²-OP²=CB²-PB²，
即x²-（2-b）²=2²-b²，
整理得b=2-

x2

4

，
所以y=4+2x+2b=4+2x+4-

x2

2

=-

x2

2

+2x+8，
∴該梯形周長的最大值是：

4ac-b 2

4a

=

-16-4

-2

=10．
故答案為：10．

點評：此題主要考查了二次函數的最值以及等腰梯形的性質和解直角三角形，根據題意得出x²-（2-b）²=R²-b²=CP² 從而利用二次函數最值求法求出是解決問題的關鍵．