Question

如圖所示，梯形AOCD中，∠AOC=90°，AD=9，OC=10，AO=4在線段OC上任取一點N（不與O、C重合），連接DN，作NE⊥DN，與直線AO交于點E．
（1）當CN=2時，求OE；
（2）若CN=t，OE=s，求s關于自變量t的函數關系式；
（3）探索與研究：如圖2所示，分別以AO、OC所在的直線為y軸與x軸，O為原點，建立如圖所示的直角坐標系，動點M從點O沿線段OC向C點運動，動點N從點C沿線段CO向點O同時等速運動，設現有一點F（x，y）滿足MF⊥MN，NF⊥ND，試用含x的式子表示y．

Answer 1

（1）如圖所示，作DF⊥OC于F，
由題意知，CN=2，AD=9，OC=10．
∵AOCD是梯形且∠AOC=90°，
∴OF=AD=9，CF=OC-OF=1，NF=CN-CF=1，DF=OA=4．
∴在Rt△DFN中，tan∠DNF=

DF

NF

=

4

1

=4．
又∵NE⊥DN，∠AOC=90°，
∴∠DNF=∠OEN，tan∠OEN=tan∠DNF=4．
∴OE=

ON

tan∠OEN

=

8

4

=2；

（2）如圖所示：
①當0＜t＜1時由（1）知CF=1，所以此時N點在F點右側，E點在y軸負半軸
∵∠DNF=∠OEN，
∴tan∠DNF=

DF

FN

=

4

1-t

=tan∠OEN=

OF

OE

=

10-t

s

，
即

4

1-t

=

10-t

s

，
∴s=

t2-11t+10

4

．
②當t＞1時，如圖所示N點在F點左側，E點則在y軸正半軸．
∵∠DNF=∠OEN，
∴tan∠DNF=

DN

FN

=tan∠OEN=

OF

OE

，
即

10-t

s

=

4

t-1

，
∴S=

-t2+11t-10

4

；

（3）如圖所示：由圖知點F在第四象限，
∵MF⊥MN，NF⊥ND，點F（x，y），M點、N點同時等速運動，
∴CN=OM=x．
又∵∠MFN+∠MNF=∠MNF+∠DNM=90°，
∴∠MFN=∠DNM，
即：tan∠MFN=

MN

MF

=

10-2x

|y|

=tan∠DNM=

OA

1-x

=

4

1-x

，y＜0，
∴y=-

1

2

x2+3x-

5

2

．