【題目】如圖1、圖2，在圓O中，
，
，將弦AB與弧AB所圍成的弓形
包括邊界的陰影部分
繞點B順時針旋轉
度
，點A的對應點是
．
點O到線段AB的距離是______；
______
；點O落在陰影部分包括邊界時，的取值范圍是______；
如圖3，線段B與優弧ACB的交點是D，當
時，說明點D在AO的延長線上；
當直線
與圓O相切時，求的值并求此時點運動路徑的長度．
【答案】(1)
；120；
；(2)見解析;(3)
或
;
,
.
【解析】
利用垂徑定理和特殊角的三角函數值解答；當
與OB重疊時，
取最小值；當OB繞點B順時針旋轉至與圓相交時，交點為
，來求的最大值；
連接AD，利用圓周角定理進行證明；
利用切線的性質求得的值，并利用弧長公式求得相應的點
運動路徑的長度．
解：如圖1，過點O作
于點D，
由垂徑定理知，
，
又
，
，
．
又
，
．
如圖2，當與OB重疊時，
；
當OB繞點B順時針旋轉至與圓相交，交點為，連接
，則
，此時
是等邊三角形，
，
的取值范圍是：．
故答案是：
；120；；連接AD，
，
為直徑，
所以D在AO的延長線上；
當與
相切，
，
此時
或
或
當
時，運動路徑的長度
當
時，運動路徑的長度
．
寒假學與練系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知拋物線
，將拋物線
沿
軸翻折，得到拋物線
．
（1）求出拋物線的函數表達式；
（2）現將拋物線向左平移
個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為
，與軸的交點從左到右依次為
，
；將拋物線向右也平移個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為
，與軸交點從左到右依次為
，
．在平移過程中，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】某中學九年級學生步行到郊外春游.一班的學生組成前隊,速度為4km/h ,二班的學生組成后隊,速度為6km/h .前隊出發1h 后,后隊才出發,同時,后隊派一名聯絡員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回進行聯絡,他騎車的速度為12km/h.若不計隊伍的長度,如圖,折線ABC ,A-B-C 分別表示后隊,聯絡員在行進過程中,離前隊的路程 與后隊行進時間x（h） 之間的部分函數圖象.
（1） 求線段AB 對應的函數關系式;
（2） 求點E 的坐標,并說明它的實際意義;
（3） 聯絡員從出發到他折返后第一次與后隊相遇的過程中,當x 為何值時,他離前隊的路程與他離后隊的路程相等?
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀下列材料，并完成任務．
三角形的外心
定義：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這個點叫做三角形的外心．
如圖1，直線l1，l2，l3分別是邊AB，BC，AC的垂直平分線．
求證：直線l1，l2，l3相交于一點．
證明：如圖2，設l1，l2相交于點O，分別連接OA，OB，OC
∵l1是AB的垂直平分線，
∴OA＝OB，（依據1）
∵l2是BC的垂直平分線，
∴OB＝OC，
∴OA＝OC，（依據2）
∵l3是AC的垂直平分線，
∴點O在l3上，（依據3）
∴直線l1，l2，l3相交于一點．
（1）上述證明過程中的“依據1”“依據2”“依據3”分別指什么？
（2）如圖3，直線l1，l2分別是AB，AC的垂直平分線，直線l1，l2相交于點O，點O是△ABC的外心，l1交BC于點N，l2交BC于點N，分別連接AM、AN、OA、OB、OC．若OA＝6cm，△OBC的周長為22cm，求△AMN的周長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，點P在AB上，AP＝1．將矩形ABCD沿CP折疊，點B落在點B'處．B'P、B′C分別與AD交于點E、F，則EF＝_____．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】換個角度看問題．
（原題重現）
一列快車從甲地勻速駛往乙地，一列慢車從乙地勻速駛往甲地，兩車同時出發，設慢車行駛的時間為x（h），兩車之間的距離為y（km），圖中的折線表示y與x之間的函數關系．
……
若第二列快車也從甲地出發駛往乙地，速度與第一列快車相同．在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇．求第二列快車比第一列快車晚出發多少小時？
（問題再研）
若設慢車行駛的時間為x（h），慢車與甲地的距離為s1（km），第一列快車與甲地的距離為s2（km），第二列快車與甲地的距離為s3（km），根據原題中所給信息解決下列問題：
（1）在同一直角坐標系中，分別畫出s1、s2與x之間的函數圖象；
（2）求s3與x之間的函數表達式；
（3）求原題的答案．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知點A的坐標是（﹣1，0），點B的坐標是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，連接AC、BC，過A、B、C三點作拋物線．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，連結BD，求直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
與
軸，
軸分別交于點
，B，與反比例函數圖象的一個交點為
.
（1）求反比例函數的表達式；
（2）設直線
與 
軸，軸分別交于點C,D,且
，直接寫出
的值 .
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