Question

【題目】閱讀下列材料，并完成任務．

三角形的外心

定義：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這個點叫做三角形的外心．

如圖1，直線l1，l2，l3分別是邊AB，BC，AC的垂直平分線．

求證：直線l1，l2，l3相交于一點．

證明：如圖2，設l1，l2相交于點O，分別連接OA，OB，OC

∵l1是AB的垂直平分線，

∴OA＝OB，（依據1）

∵l2是BC的垂直平分線，

∴OB＝OC，

∴OA＝OC，（依據2）

∵l3是AC的垂直平分線，

∴點O在l3上，（依據3）

∴直線l1，l2，l3相交于一點．

（1）上述證明過程中的“依據1”“依據2”“依據3”分別指什么？

（2）如圖3，直線l1，l2分別是AB，AC的垂直平分線，直線l1，l2相交于點O，點O是△ABC的外心，l1交BC于點N，l2交BC于點N，分別連接AM、AN、OA、OB、OC．若OA＝6cm，△OBC的周長為22cm，求△AMN的周長．

Answer 1

【答案】（1）依據1：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；依據2：等量代換；依據3：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；（2）△AMN的周長為10cm．

【解析】

（1）此題實際上是證得點在上，所以利用線段垂直平分線的性質進行推理論證的；

（2）由線段的的垂直平分線的性質得到：，．同理，．所以，所以將的周長轉化為求得線段的長度的問題，根據的周長的計算方法求得的長度即可．

解：（1）依據1：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；

依據2：等量代換；

依據3：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；

（2）如圖，∵直線l1是AB的的垂直平分線，

∴AM＝AB，OA＝OB．

∵直線l2是AC的的垂直平分線，

∴AN＝CN，OA＝OC．

∴OB＝OC＝OA＝6cm，△AMN的周長＝AM+MN+AN＝BC，

∵△OBC的周長為22cm，

∴BC＝22﹣（OB+OC）＝22﹣12＝10（cm），

∴△AMN的周長為10cm．