Question

【題目】如圖，拋物線y=+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣4，0）兩點，

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）設(shè)此拋物線與直線y=﹣x在第二象限交于點D，平行于y軸的直線x=m，()與拋物線交于點M，與直線y=﹣x交于點N，連接BM、CM、NC、NB，是否存在m的值，使四邊形BNCM的面積S最大？若存在，請求出m的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣3x+4；(2)存在，在該拋物線的對稱軸上存在點Q（﹣1.5，2.5），使得△QAC的周長最小；（3）存在，m=-1.

【解析】

試題分析：（1）A，B的坐標(biāo)代入拋物線y=+bx+c確定解析式．

（2）A，B關(guān)于對稱軸對稱，BC與對稱軸的交點就是點Q．

（3）四邊形BNCM的面積等于△MNB的面積+△MNC的面積．

試題解析：（1）∵拋物線y=+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣4，0）兩點，

將A、B兩點坐標(biāo)代入拋物線方程，得，解得，

所以，該拋物線的解析式為：y=﹣3x+4；

（2）存在．理由如下：

∵由前面的計算可以得到，C（0，4），且拋物線的對稱軸為直線x=﹣1.5，

∴由拋物線的對稱性，點A、B關(guān)于直線x=1對稱，

∴當(dāng)QC+QA最小時，△QAC的周長就最小，

而當(dāng)點Q在直線BC上時QC+QA最小，

此時直線BC的解析式為y=x+4，

當(dāng)x=﹣1.5時，y=2.5，

∴在該拋物線的對稱軸上存在點Q（﹣1.5，2.5），使得△QAC的周長最小；

（3）由題意，M（m，﹣3m+4），N（m，﹣m），

∴線段MN=﹣3m+4﹣（﹣m）=﹣2m+4=+5，

∵=0.5MN×BO=2MN=+10，

∴當(dāng)m=﹣1時（在內(nèi)），四邊形BNCM的面積S最大．