Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸交于C（0，3），直線y=+m經過點C，與拋物線的另一交點為點D，點P是直線CD上方拋物線上的一個動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線CD于點E，設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線解析式并求出點D的坐標；

（2）連接PD，△CDP的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）當△CPE是等腰三角形時，請直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，D點坐標為（）；（2）當m=時，△CDP的面積存在最大值，最大值為；（3）m的值為 或 或．

【解析】

（1）利用待定系數法求拋物線解析式和直線CD的解析式，然后解方程組得D點坐標；
（2）設P（m，-m2+2m+3），則E（m，-m+3），則PE=-m2+m，利用三角形面積公式得到S△PCD=××（-m2+m）=-m2+m，然后利用二次函數的性質解決問題；
（3）討論：當PC=PE時，m2+（-m2+2m+3-3）2=（-m2+m）2；當CP=CE時，m2+（-m2+2m+3-3）2=m2+（-m+3-3）2；當EC=EP時，m2+（-m+3-3）2=（-m2+m）2，然后分別解方程即可得到滿足條件的m的值．

（1）把A（﹣1，0），C（0，3）分別代入y=﹣x2+bx+c得，解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

把C（0，3）代入y=﹣x+n，解得n=3，

∴直線CD的解析式為y=﹣x+3，

解方程組，解得

或，

∴D點坐標為（，）；

（2）存在．

設P（m，﹣m2+2m+3），則E（m，﹣m+3），

∴PE=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+m，

∴S△PCD=（﹣m2+m）=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+，

當m=時，△CDP的面積存在最大值，最大值為；

（3）當PC=PE時，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2=（﹣m2+m）2，解得m=0（舍去）或m=；

當CP=CE時，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2=m2+（﹣m+3﹣3）2，解得m=0（舍去）或m=（舍去）或m=；

當EC=EP時，m2+（﹣m+3﹣3）2=（﹣m2+m）2，解得m=（舍去）或m=，

綜上所述，m的值為或或．