Question

【題目】公司投資750萬元，成功研制出一種市場需求量較大的產品，并再投入資金1750萬元進行相關生產設備的改進．已知生產過程中，每件產品的成本為60元．在銷售過程中發現，當銷售單價定為120元時，年銷售量為24萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件．設銷售單價為x（元）（x＞120），年銷售量為y（萬件），第一年年獲利（年獲利=年銷售額﹣生產成本）為z（萬元）．
（1）求出y與x之間，z與x之間的函數關系式；
（2）該公司能否在第一年收回投資．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，

y=24﹣ ，即y= x+36，

z=（x﹣60）（ x+36）= +42x﹣2160；

（2）解：z= +42x﹣2160= +2250，

當x=210時，第一年的年最大利潤為2250萬元，

∵2250＜750+1750，

∴公司不能在第一年收回投資．

【解析】（1）根據年銷量=原銷量-因價格上漲減少的銷量，年獲利=單件利潤年銷售量，分別列出函數關系式即可；
（2）將z= x 2 +42x﹣2160變形成頂點式Z= ( x 210 ) 2 +2250，知當x=210時，第一年的年最大利潤為2250萬元，從而可知最大利潤值小于總投資，從而得出結論。
【考點精析】掌握二次函數的最值是解答本題的根本，需要知道如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．