Question

24、直線CD經過∠BCA的頂點C，CA=CB．E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）若直線CD經過∠BCA的內部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題：
①如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°，則EF

=

|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”號）；
②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的結論仍然成立，則∠α與∠BCA應滿足的關系是

∠α+∠BCA=180°

；
（2）如圖3，若直線CD經過∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請探究EF、與BE、AF三條線段的數量關系，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因為EF=CF-CE，所以EF=|BE-AF|；
②只有滿足△BEC≌△CDA，才有①中的結論，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形內角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°．
（2）只要通過條件證明△BEC≌△CFA（可通過ASA證得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF．

解答：解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，
又∵CA=CB，∠BEC=∠CFA，
∴△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；
∵EF=CF-CE，
∴EF=|BE-AF|．
②只有滿足△BEC≌△CDA，才有①中的結論，由全等三角形可知∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；
∵三角形內角和等于180°，
∴∠α+∠BCE+∠CBE=180°，
∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即∠α+∠BCA=180°．

（2）探究結論：EF=BE+AF
證明：∵∠1+∠2+∠BCA=180°，∠2+∠3+∠CFA=180°
又∵∠BCA=∠α=∠CFA，∴∠1=∠3；
又∵∠BEC=∠CFA=∠α，CB=CA，
∴△BEC≌△CFA，
∴BE=CF，EC=AF，
∴EF=EC+CF=BE+AF．

點評：本題主要考查全等三角形全等的判定，涉及到三角形內角和定理，線段比較長短等知識點．同學們要仔細閱讀題意方能解題，屬于一道較復雜的基礎題．