Question

問題：你能比較2011²⁰¹²和2012²⁰¹¹的大小嗎？
為了解決這個問題，我們先把它抽象成數學問題，寫出它的-般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n是正整數），然后，我們從分析n=1，n=2，n=3，…，這些簡單情形入手，從中發現規律，經過歸納，猜想出結論．
（1）通過計算，比較下列各組中兩個數的大小（填“＜”“＞”或“=”）：
①1²

＜

2¹；②2³

＜

3²；③3⁴

＞

4³；
④4⁵

＞

5⁴；⑤5⁶

＞

6⁵；…
（2）將題（1）的結果進行歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關系是

當n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ

；
（3）根據上面歸納猜想后得到的一般結論，試比較下列兩個數的大小：2011²⁰¹²

＞

2012²⁰¹¹．

Answer 1

分析：（1）根據有理數的乘方的定義分別進行計算即可得解；
（2）根據（1）的計算結果分情況解答；
（3）根據（2）的結論解答即可．

解答：解：（1）①1²=1，2¹=2；
②2³=8，3²=9；
③3⁴=81，4³=64；
④4⁵=1024，5⁴=625；⑤5⁶=15625，6⁵=7776；…

（2）當n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵2011＞3，
∴2011²⁰¹²＞2012²⁰¹¹．
故答案為：（1）＜；＜；＞；＞；＞；（2）當n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；（3）＞．

點評：本題考查了有理數的乘方，有理數的大小比較，理解有理數的乘方的意義準確計算是解題的關鍵．