Question

已知關于x的方程x²+3x+m=0．如果該方程有兩個實數根，那么m的值可以是

1（答案不唯一）

（任寫一個）；如果m取使方程x²+3x+m=0有兩個實數根的最大整數，且方程x²+mx+n=0的兩個實數根x₁、x₂滿足x₁²+x₂²＞1，那么n的取值范圍是

n≤1

．

Answer 1

分析：先根據關于x的方程x²+3x+m=0有兩個實數根得出m的取值范圍，在取值范圍內寫出任意一個實數即可；
找出m的最大整數解，由根與系數的關系用n表示出x₁、x₂與x₁、x₂的值，代入x₁²+x₂²＞1，求出n的取值范圍即可．

解答：解：∵于x的方程x²+3x+m=0有兩個實數根，
∴△=9-4m≥0，
∴m≤

9

4

，
∴m可以是1，m的最大整數值為2；
∴方程x²+mx+n=0可化為方程x²+2x+n=0，
∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=n，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=4-2n
又∵x₁²+x₂²＞1，
∴4-2n＞1，解得n＜

3

2

．
∵△=4-4n≥0，
∴n≤1．
故答案為：n≤1．
故答案為：1（答案不唯一）；n≤1．

點評：本題考查的是一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，屬開放性題目，答案不唯一．