Question

如圖，已知平面內有兩條直線AB、CD，且AB∥CD，P為一動點．

（1）當點P移動到AB、CD之間時，如圖（1），這時∠P與∠A、∠C有怎樣的關系？證明你的結論．
（2）當點P移動到AB的外側時，如圖（2），是否仍有（1）的結論？如果不是______，請寫出你的猜想（不要求證明）．
（3）當點P移動到如圖（3）的位置時，∠P與∠A、∠C又有怎樣的關系？能否利用（1）的結論來證明？還有其他的方法嗎？請寫出一種．

Answer 1

證明：（1）∠P=∠A+∠C，
延長AP交CD與點E．
∵AB∥CD，∴∠A=∠AEC．
又∵∠APC是△PCE的外角，
∴∠APC=∠C+∠AEC．
∴∠APC=∠A+∠C．
（2）否；∠P=∠C-∠A．
（3）∠P=360°-（∠A+∠C）．
①延長BA到E，延長DC到F，
由（1）得∠P=∠PAE+∠PCF．
∵∠PAE=180°-∠PAB，∠PCF=180°-∠PCD，
∴∠P=360°-（∠PAB+∠PCD）．
②連接AC．
∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°．
∵∠PAC+∠PCA=180°-∠P，
∵∠CAB+∠ACD+∠PAC+∠PCA=360°-∠P，
即∠P=360°-（∠PAB+∠PCD）．
分析：（1）延長AP后通過外角定理可得出結論．
（2）利用外角定理可直接得出答案．
（3）延長BA到E，延長DC到F，利用內角和定理解答．
點評：本題考查平行線的性質，難度不大，注意圖形的變化帶來的影響，不要有慣性思維．