Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點，AE＝CF，連接EF、BF，EF與對角線AC交于點O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC。

（1）求證；OE＝OF；（2）若BC＝，求AB的長。

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）3.

【解析】分析：（1）根據矩形的對邊平行可得AB∥CD，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角邊”證明△AOE和△COF全等，再根據全等三角形的即可得證；
（2）連接OB，根據等腰三角形三線合一的性質可得BO⊥EF，再根據矩形的性質可得OA=OB，根據等邊對等角的性質可得∠BAC=∠ABO，再根據三角形的內角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，再利用勾股定理列式計算即可求出AB．

詳解：（1）證明：在矩形ABCD中，AB∥CD，

∴∠BAC=∠FCO，

在△AOE和△COF中，

在△AOE和△COF中，
，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE=OF；

（2）解：如圖，連接OB，

∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF，

∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，

由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半可知：OA=OB=OC，

∴∠BAC=∠ABO， 又∵∠BEF=2∠BAC， 即2∠BAC+∠BAC=90°，

解得∠BAC=30°， ∵BC=， ∴AC=2BC=2，

∴AB==3