Question

【題目】如圖，圓中的弦AB與弦CD垂直于點E，點F在上， ，直線MN過點D，且∠MDC＝∠DFC，求證：直線MN是該圓的切線.

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析：利用同弧所對的圓周角相等的出∠ABC＝∠BCF，再由平行線額判定與性質求出∠DCF＝90°，由等量代換求出∠MDC＋∠CDF＝90°，即可求出結論．

證明：設該圓的圓心為點O，

在⊙O中，∵ ＝，

∴ ∠AOC＝∠BOF.

又 ∠AOC＝2∠ABC，∠BOF＝2∠BCF，

∴ ∠ABC＝∠BCF.

∴ AB∥CF.

∴ ∠DCF＝∠DEB.

∵ DC⊥AB，

∴ ∠DEB＝90°．

∴ ∠DCF＝90°．

∴ DF為⊙O直徑.

且 ∠CDF＋∠DFC＝90°.

∵ ∠MDC＝∠DFC，

∴ ∠MDC＋∠CDF＝90°.

即 DF⊥MN.

又∵ MN過點D，

∴ 直線MN是⊙O的切線 .