Question

【題目】已知函數（m為常數）．

（1）試判斷該函數的圖象與x軸的公共點的個數；

（2）求證：不論m為何值，該函數的圖象的頂點都在函數的圖象上；

（3）若直線y=x與二次函數圖象交于A、B兩點，當﹣4≤m≤2時，求線段AB的最大值和最小值。

Answer 1

【答案】（1）2；（2）詳見解析；（3）當m=0時，=，當m=-4時，=8 .

【解析】試題分析：（1）表示出根的判別式，判斷其正負即可得到結果；

（2）將二次函數解析式配方變形后，判斷其頂點坐標是否在已知函數圖象即可；

（3）聯立方程有：得：x2-(m-4）x-2m=0 ，根據根與系數的關系求出(x1-x2)2==m2+16，解等腰直角三角形可得=，然后討論m的取值，求出線段AB的最大值和最小值。

解：(1)∵△=(m3)2+8m=(m+1)2+8>0，

則該函數圖象與x軸的公共點的個數為2個，

（2）y=-x2+（m-3）x+2m

=-（x- ）2+

把x=代入y=x2+4x+6=（x+2）2+2

y=（+2）2+2=+2

=

則不論m為何值，該函數的圖像的頂點都在函數y=x2+4x+6的圖像上。

（3）設直線y=x與y=-x2+（m-3）x+2m的交點為A（x1，y1）B（x2，y2）,聯立方程有：

得：x2-(m-4）x-2m=0

∴x1 + x2=m-4,x1x2=-2m

∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2

=(m-4）2-4(-2m)

=m2+16

（也可用求根公式求得該式）

∴=

∵﹣4≤m≤2

∴當m=0時，=，

當m=-4時，=8