Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，點D在直線BC上（不與點B、C重合），線段AD繞A點逆時針方向旋轉∠BAC的大小，得線段AE，連接DE、CE．探索∠BCE與∠BAC的大小關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】

分類討論：

當點D在線段BC上，如圖1，根據旋轉的性質得AD=AE，再由∠DAE=∠BAC得到∠BAD=∠CAE，則可根據SAS判定△ABD≌△ACE，得到∠ABC=∠ACE，而∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC，而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，于是得到∠BCE+∠BAC=180°；

當點D再BC的延長線上，如圖2，同樣可證明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，同樣可得∠BCE+∠BAC=180°；

當點D再CB延長線上時，如圖3，同樣可證明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，根據三角形外角性質得∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠ACB+∠BCE，所以∠BCE=∠BAC；

綜上所述，∠BCE與∠BAC相等或互補.

∠BCE與∠BAC相等或互補.

理由如下：

當點D在線段BC上，如圖1，

∵線段AD繞點A按逆時針方向旋轉得到AE

∴AD=AE

∵∠DAE=∠BAC

∴∠BAD=∠CAE

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠ABC=ACE

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC

∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°

∴∠BCE+∠BAC=180°

當點D再BC的延長線上，如圖2，

同樣可證明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=ACE

同樣得到∠BCE+∠BAC=180°

當點D再CB延長線上時，如圖3，

同樣可證明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=ACE

∵∠ABD=∠BAC+∠ACB

∠ACE=∠ACB+∠BCE

∴∠BCE=∠BAC

綜上所述，∠BCE與∠BAC相等或互補.