Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點M在△ABC內，AM平分∠BAC.點D與點M在AC所在直線的兩側，AD⊥AB，AD=BC，點E在AC邊上，CE=AM，連接MD、BE.

（1）補全圖形；

（2）請判斷MD與BE的數量關系，并進行證明；

（3）點M在何處時，BM+BE會有最小值，畫出圖形確定點M的位置；如果AB=5，BC=6，求出BM+BE的最小值.

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析（2）MD=BE,證明見解析（3）作圖見解析, BM+BE的最小值為

【解析】

（1）根據題意補全圖形即可；

（2）利用SAS即可證明△EAB≌△DAC，可得結論：BE=CD；

（3）當點M在BD上時，根據兩點之間線段最短，即可得到BM+BE會有最小值，最小值為BD.

（1）補全圖形如圖

（2）MD=BE

證明：延長AM交BC于點F（如圖2）.

∵AM平分∠BAC，

∴∠BAM=∠CAM.

∵AD⊥AB，

∴∠MAD+∠BAM=90°.

∴∠MAD+∠CAM=90°

∵AB=AC，AM平分∠BAC，

∴AF⊥BC.

∴∠C+∠CAM=90°.

∴∠MAD=∠C.

又∵AM=CE，AD=BC，

∴△AMD≌△CEB.

∴MD=BE.

（3）點M的位置如圖

∵AB=5，BC=6，

∴AD=BC=6，.

∴

∴BM+BE的最小值為.