Question

如圖（1），矩形ABCD的一邊BC在直角坐標系中x軸上，折疊邊AD，使點D落在x軸上點F處，折痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設點B坐標為（m，0），其中m＞0．
（1）求點E、F的坐標（用含m的式子表示）；
（2）連接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如圖（2），設拋物線y=a（x-m-6）²+h經過A、E兩點，其頂點為M，連接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值．

Answer 1

（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=CB=10，AB=DC=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，
由折疊對稱性：AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF=

AF2-AB2

=

100-64

=6，
∴CF=4，
設EF=x，則EC=8-x，
在Rt△ECF中，4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴CE=3，
∵B（m，0），
∴E（m+10，3），F（m+6，0）；

（2）分三種情況討論：
若AO=AF，
∵AB⊥OF，
∴BO=BF=6，
∴m=6，
若OF=FA，則m+6=10，
解得：m=4，
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO²=OB²+AB²=m²+64，
∴（m+6）²=m²+64，
解得：m=

7

3

，
∴m=6或4或

7

3

；

（3）由（1）知：E（m+10，3），A（m，8）．
∴

a(m-m-6)2+h=8 a(m+10-m-6)2+h=3

，
得

a= 1 4 h=-1

，
∴M（m+6，-1），
設對稱軸交AD于G，
∴G（m+6，8），
∴AG=6，GM=8-（-1）=9，
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG，
∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG，
∴

OB

MG

=

AB

AG

，
即：

m

9

=

8

6

，
∴m=12，