Question

已知關于x的方程x²-2（a+1）x+a²+2=0有兩個實數根x₁，x₂
（1）求a的取值范圍；
（2）若（x₁+1）（x₂+1）=8，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據判別式的意義得到△=4（a+1）²-4（a²+2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根據根與系數的關系得x₁+x₂=2（a+1），x₁•x₂=a²+2，再把（x₁+1）（x₂+1）=8整理得x₁•x₂+x₁+x₂+1=8，所以a²+2+2（a+1）+1=8，解關于a的方程，然后根據（1）中的條件確定a的值．

解答：解：（1）根據題意得△=4（a+1）²-4（a²+2）≥0，
解得a≥

1

2

；
（2）根據題意得x₁+x₂=2（a+1），x₁•x₂=a²+2，
∵（x₁+1）（x₂+1）=8，
∴x₁•x₂+x₁+x₂+1=8，
∴a²+2+2（a+1）+1=8，
整理得a²+2a-3=0，解得a₁=-3，a₂=1，
∵a≥

1

2

，
∴a=1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的根與系數的關系．