Question

四邊形ABCD是由等邊△ABC和頂角為120°的等腰△ABD拼成，將一個60°角頂點放在D處，將60°角繞D點旋轉，該60°角兩邊分別交直線BC、AC于M、N．交直線AB于E、F兩點，
（1）當E、F分別在邊AB上時（如圖1），求證：BM+AN=MN；
（2）當E、F分別在邊BA的延長線上時如圖2，求線段BM、AN、MN之間又有怎樣的數量關系

MN=BM-AN

；
（3）在（1）的條件下，若AC=5，AE=1，求BM的長．

Answer 1

分析：（1）把△DBM繞點D逆時針旋轉120°得到△DAQ，根據旋轉的性質可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“邊角邊”證明△MND和△QND全等，根據全等三角形對應邊相等可得MN=QN，再根據AQ+AN=QN整理即可得證；
（2）把△DAN繞點D順時針旋轉120°得到△DBP，根據旋轉的性質可得DN=DP，AN=BP，根據∠DAN=∠DBP=90°可知點P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“邊角邊”證明△MND和△MPD全等，根據全等三角形對應邊相等可得MN=MP，從而得證；
（3）過點M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以證明△BMG是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得BM=MG=BG，根據全等三角形對應角相等可得∠QND=∠MND，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根據等角對等邊可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角邊”證明△ANE和△GHE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=GE，再根據BG=AB-AE-GE代入數據進行計算即可求出BG，從而得到BM的長．

解答：（1）證明：把△DBM繞點D逆時針旋轉120°得到△DAQ，
則DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，
∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠QDN=∠MDN=60°，
∵在△MND和△QND中，

DM=DQ ∠QDN=∠MDN DN=DN

，
∴△MND≌△QND（SAS），
∴MN=QN，
∵QN=AQ+AN=BM+AN，
∴BM+AN=MN；

（2）MN+AN=BM．
理由如下：如圖，把△DAN繞點D順時針旋轉120°得到△DBP，
則DN=DP，AN=BP，
∵∠DAN=∠DBP=90°，
∴點P在BM上，
∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠MDP=∠MDN=60°，
∵在△MND和△MPD中，

DN=DP ∠MDP=∠MDN DM=DM

，
∴△MND≌△MPD（SAS），
∴MN=MP，
∵BM=MP+BP，
∴MN+AN=BM；

（3）如圖，過點M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，
∵△ABC是等邊三角形，
∴△BMG是等邊三角形，
∴BM=MG=BG，
根據（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，
根據MH∥AC可得∠QND=∠MHN，
∴∠MND=∠MHN，
∴MN=MH，
∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，
即AN=GH，
∵在△ANE和△GHE中，

∠QND=∠MHN ∠AEN=∠GEH AN=GH

，
∴△ANE≌△GHE（AAS），
∴AE=EG=1，
∵AC=5，
∴AB=AC=5，
∴BG=AB-AE-EG=5-1-1=3，
∴BM=BG=3．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及等腰三角形的性質，根據等邊三角形的性質，旋轉變換的性質作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵，（3）作平行線并求出AN=GH是解題的關鍵，也是本題的難點．