Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、B坐標分別為（4，2）、（0，2），線段CD在于x軸上，CD＝，點C從原點出發沿x軸正方向以每秒1個單位長度向右平移，點D隨著點C同時同速同方向運動，過點D作x軸的垂線交線段AB于點E、交OA于點G，連結CE交OA于點F．設運動時間為t，當E點到達A點時，停止所有運動．

（1）求線段CE的長；
（2）記S為RtΔCDE與ΔABO的重疊部分面積，試寫出S關于t的函數關系式及t的取值范圍；
（3）連結DF，
①當t取何值時，有?
②直接寫出ΔCDF的外接圓與OA相切時t的值.

Answer 1

（1）線段CE的長為；
（2）S=（﹣t）²，t的取值范圍為：0≤t≤；
（3）①當t=時，DF=CD；②ΔCDF的外接圓與OA相切時t=．

試題分析：（1）直接根據勾股定理求出CE的長即可；
（2）作FH⊥CD于H．，由AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD可知四邊形ODEB是矩形，故可用t表示出AE及BE的長，由相似三角形的判定定理可得出△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，由相似三角形的性質可用t表示出CF及EG的長，FH∥ED可求出HD的長，由三角形的面積公式可求出S與t的關系式；
（3）①由（2）知CF=t，當DF=CD時，作DK⊥CF于K，則CK=CF=t，CK=CDcos∠DCE，由此可得出t的值；
②先根據勾股定理求出OA的長，由（2）知HD=（5﹣t），由相似三角形的判定定理得出Rt△AOB∽Rt△OFH，可用t表示出OF的長，因為當△CDF的外接圓與OA相切時，則OF為切線，OD為割線，由切割線定理可知OF²=OC•OD，故可得出結論．
試題解析：（1）∵在Rt△CDE中，CD=，DE=2，
∴CE=；
（2）如圖1，作FH⊥CD于H．

∵AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD，
∴四邊形ODEB是矩形，
∴BE=OD，
∵OC=t，
∴BE=OD=OC+CD=t+，
∴AE=AB﹣BE=4﹣（t+）=﹣t，
∵AB∥OD，
∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，
∴，，
又∵CF+EF=5，DG+EG=4，
∴，，
∴CF=t，EG=，
∴EF=CE﹣CF=5﹣t，
∵FH∥ED，
∴，即HD=•CD=（﹣t），
∴S=EG•HD=××（﹣t）=（﹣t）²，
t的取值范圍為：0≤t≤；
（3）①由（2）知CF=t，
如圖2，當DF=CD時，如圖作DK⊥CF于K，

則CK=CF=t，
∵CK=CDcos∠DCE，
∴t=3×，
解得：t=；
∴當t=時，DF=CD；
②∵點A，B坐標分別為（8，4），（0，4），
∴AB=8，OB=4，
∴OA==4，
∵由（2）知HD=（5﹣t），
∴OH=t+3﹣（5﹣t）=，
∵∠A+∠AOB=∠AOD+∠AOB=90°，
∴∠A=∠AOD，
∴Rt△AOB∽Rt△OFH，
∴，
解得OF=，
∵當△CDF的外接圓與OA相切時，則OF為切線，OD為割線，
∴OF²=OC•OD，即（）²=t（t+3），得t=．