Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任一點（不與A，B重合），AB⊥CD于E，BF為⊙O的切線，OF∥AC，連接AF，CF，AF與CD交于點G，與⊙O交于點H，連接CH．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）求證：EG＝GC；

（3）若cos∠AOC＝，⊙O的半徑為9，求CH的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析；

（3）CH的長為

【解析】試題分析：（1）根據OF∥AC，OA=OC，判斷出∠BOF=∠COF；然后根據全等三角形判定的方法，判斷出△BOF≌△COF，推得∠OCF=∠OBF=90°，再根據點C在⊙O上，即可判斷出FC是⊙O的切線． （2）根據已知條件△AEC∽△OBF，根據相似三角形的性質可得 ＝ ，再由∠EAG＝∠BAF，∠AEG＝∠ABF，可得△AEG∽△ABF，即可得 ＝ ，因AB＝2OB，所以 ＝ ，即 ＝ ，所以EC＝2EG，即可得結論EG＝GC ；

（3）延長CO交⊙O于K，連接HK，易證∠CAF＝∠HCF，再由∠AFC＝∠CFH，即可判斷△ACF∽△CHF，根據相似三角形的性質可得 ＝ ，因cos∠AOC＝ ，OC＝9，可得 ＝ ＝ ，即可求得OE＝6，所以AE＝3，EC 2＝OC 2－OE 2＝45，由勾股定理可得AC＝ ＝3，再由 ＝ ，可求得BF＝9，再由勾股定理可得AF＝ ＝27，BF、CF都是⊙O的切線，根據切線長定理可得CF＝BF＝9，由此求得CH＝ .

試題解析：

（1）∵BF為⊙O的切線，∴∠OBF＝90°

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA

∵OF∥AC，∴∠OAC＝∠BOF，∠OCA＝∠COF

∴∠BOF＝∠COF

又OB＝OC，OF＝OF，∴△OBF≌△OCF

∴∠OCF＝∠OBF＝90°

∴CF是⊙O的切線

（2）∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°

∴∠AEC＝∠OBF

又∠EAC＝∠BOF，∴△AEC∽△OBF

∴ ＝

∵∠EAG＝∠BAF，∠AEG＝∠ABF

∴△AEG∽△ABF，∴ ＝

∵AB＝2OB，∴ ＝ ，即 ＝

∴EC＝2EG，∴EG＝GC

（3）延長CO交⊙O于K，連接HK

則∠K＝∠CAF，∠K＋∠OCH＝90°

∵∠OCF＝90°，∴∠HCF＋∠OCH＝90°

∴∠CAF＝∠HCF

又∠AFC＝∠CFH，∴△ACF∽△CHF，∴ ＝

∵cos∠AOC＝ ，OC＝9，∴ ＝ ＝

∴OE＝6，∴AE＝3，EC 2＝OC 2－OE 2＝45

∴AC＝ ＝3

∵ ＝ ，∴ ＝ ，∴BF＝9

∴AF＝ ＝27

∵BF、CF都是⊙O的切線，∴CF＝BF＝9

∴ ＝ ，∴CH＝