Question

18、已知：如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊AC于點D，且過點D的切線DE平分邊BC．
（1）猜想DE與BE的數量關系，并說明理由；
（2）求證：BC是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角可判定△BCD為直角三角形，又DE平分邊BC，所以由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半判定DE=BE；
（2）因為B點在圓上，所以證明∠ABC=90°即可．連接OD，因DE是切線，有∠ODE=90°．證明∠ABC=∠ODE．

解答：解：（1）DE=BE．
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°．
則∠BDC=90°，即△BCD為直角三角形．
又DE平分邊BC，
∴DE=BE=EC．

（2）連接OD．
∵DE是⊙O的切線，
∴∠ODE=90°．
∵DE=BE，OD=OB，
∴∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，
∴∠EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB，
即∠OBE=∠ODE=90°．
又B點在圓上，
∴BC是⊙O的切線．

點評：此題考查了①直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；
②切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．