Question

如圖，是的內接三角形，，為 中上一點，延長至點，使．

（1）求證：；
（2）若，求證：．

Answer 1

證明見解析．

試題分析：（1）根據同弧上的圓周角相等，得∠CBA=∠CDE，則∠ACB=∠ECD，可證明△ACE≌△BCD，則AE=BD；
（2）根據已知條件得，∠CED=∠CDE=45°，則DE=CD，從而證出結論．
試題解析：（1）在△ABC中，∠CAB=∠CBA．
在△ECD中，∠E=∠CDE．
∵∠CBA=∠CDE，（同弧上的圓周角相等），
∴∠E=∠CDE=∠CAB=∠CBA，
∵∠E+∠ECD+∠EDC=180°，∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB﹣∠ACD=∠ECD﹣∠ACD．
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD；CE=CD；AC=BC，
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD；
（2）若AC⊥BC，∵∠ACB=∠ECD．
∴∠ECD=90°，
∴∠CED=∠CDE=45°，
∴DE=CD，
又∵AD+BD=AD+EA=ED，
∴AD+BD=CD．