Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB ＝AC，AD⊥BC于點D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分線．

(1)求證：AM∥BC；

(2)若DN平分∠ADC交AM于點N，判斷△ADN的形狀并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△ADN是等腰直角三角形，理由見解析

【解析】試題分析：（1）已知AB=AC，AD⊥BC，根據等腰三角形三線合一的性質可得∠BAD=∠CAD= ，再由AM平分∠EAC，根據角平分線的定義可得∠EAM=∠MAC= ，根據平角的定義可得∠MAD=90°，根據同旁內角互補，兩直線平行即可判定AM∥BC；（2）△ADN是等腰直角三角形，由（1）可得△ADN是直角三角形，因AM∥AD，根據平行線的性質可得∠AND=∠NDC，再由DN平分∠ADC，根據角平分線的定義和等量代換可得∠ADN=∠NDC=∠AND，根據等腰三角形的判定定理可得AD=AN，結論得證.

試題解析：

（1）∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD= ．

∵AM平分∠EAC，

∴∠EAM=∠MAC= ．

∴∠MAD=∠MAC+∠DAC= =.

∵AD⊥BC,

∴ ,

∴∠MAD+,

∴AM∥BC.

（2）△ADN是等腰直角三角形,

理由是：∵AM∥AD,

∴∠AND=∠NDC，

∵DN平分∠ADC，

∴∠ADN=∠NDC=∠AND.

∴AD=AN．

∴△ADN是等腰直角三角形．