Question

【題目】點D在∠ABC內，點E為邊BC上一點，連接DE、CD．

（1）如圖1，連接AE，若∠AED=∠A+∠D，求證：AB//CD．

（2）在（1）的結論下，過點A的直線MA//ED．

①如圖2，當點E在線段BC上時，猜想并驗證∠MAB與∠CDE的數量關系；

②如圖3，當點E在線段BC的延長線上時，猜想并驗證∠MAB與∠CDE的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①∠MAB=∠CDE；②∠CDE+∠MAB=180°．

【解析】

（1）過E作EF∥AB，則∠A=∠AEF，由∠D=∠AED﹣∠A，∠DEF=∠AED﹣∠AEF，即可得到∠D=∠DEF，進而得出EF∥CD，即可得到AB∥CD；

（2）①根據∠AED=∠BAE+∠D，∠MAE=∠BAE+∠BAE，即可得到∠D=∠BAM，即可得到結論；

②延長MA交BC于F，依據平行線的性質以及三角形內角和定理，即可得到∠D=∠BAF，再根據鄰補角互補即可得到∠CDE+∠MAB=180°．

（1）如圖1，過E作EF∥AB，則∠A=∠AEF．

∵∠AED=∠A+∠D，∴∠D=∠AED﹣∠A．

又∵∠DEF=∠AED﹣∠AEF，∴∠D=∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；

（2）①∵AM∥DE，∴∠MAE=∠AED．

∵∠AED=∠BAE+∠D，∠MAE=∠BAE+∠BAE，∴∠D=∠BAM，即∠MAB=∠CDE；

②如圖3，延長MA交BC于F．

∵MA∥ED，∴∠DEC=∠MFB．

∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE，∴∠D=∠BAF．

又∵∠BAF+∠MAB=180°，∴∠CDE+∠MAB=180°．