Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點E為BC上一點，F為DE的中點，且∠BFC=90°．

（1）當E為BC中點時，求證：△BCF≌△DEC；
（2）當BE=2EC時，求 的值；
（3）設CE=1，BE=n，作點C關于DE的對稱點C′，連結FC′，AF，若點C′到AF的距離是 ，求n的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明；∵在矩形ABCD中，∠DCE=90°，F是斜邊DE的中點，

∴CF= DE=EF，

∴∠FEC=∠FCE，

∵∠BFC=90°，E為BC中點，

∴EF=EC，

∴CF=CE，

在△BCF和△DEC中， ，

∴△BCF≌△DEC（ASA）

（2）

解：設CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，

∵CF是Rt△DCE斜邊上的中線，

∴CF= DE，

∵∠FEC=∠FCE，∠BFC=∠DCE=90°，

∴△BCF∽△DEC，

∴ ，

即： = ，

解得：ED2=6a2，

由勾股定理得：DC= = = a，

∴ = =

（3）

解：過C′作C′H⊥AF于點H，連接CC′交EF于M，如圖所示：

∵CF是Rt△DCE斜邊上的中線，

∴FC=FE=FD，

∴∠FEC=∠FCE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠ADF=∠CEF，

∴∠ADF=∠BCF，

在△ADF和△BCF中， ，

∴△ADF≌△BCF（SAS），

∴∠AFD=∠BFC=90°，

∵CH⊥AF，C′C⊥EF，∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90°，

∴四邊形C′MFH是矩形，

∴FM=C′H= ，

設EM=x，則FC=FE=x+ ，

在Rt△EMC和Rt△FMC中，

由勾股定理得：CE2﹣EM2=CF2﹣FM2，

∴12﹣x2=（x+ ）2﹣（ ）2，

解得：x= ，或x=﹣ （舍去），

∴EM= ，FC=FE= + ；

由（2）得： ，

把CE=1，BE=n代入計算得：CF= ，

∴ = +

解得：n=4

【解析】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質與判定、全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，難度較大，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵．
【考點精析】利用直角三角形斜邊上的中線和平行四邊形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．