Question

【題目】如圖①，AE是⊙O的直徑，點C是⊙O上的點，連結AC并延長AC至點D，使CD=CA，連結ED交⊙O于點B．

（1）求證：點C是劣弧的中點；

（2）如圖②，連結EC，若AE=2AC=6，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；

【解析】

（1）連接CE，由AE是⊙O的直徑，得到CE⊥AD，根據等腰三角形的性質得到∠AEC=∠DEC，于是得到結論；
（2）連接BC，OB，OC，由已知條件得到△AED是等邊三角形，得到∠A=60°，推出AE∥BC，∠BOC=60°，于是得到結論．

（1）連接CE，

∵AE是⊙O的直徑，

∴CE⊥AD，

∵AC=CD，

∴AE=ED，

∴∠AEC=∠DEC，

∴ ；

∴點C是劣弧 的中點；

（2）連接BC，OB，OC，

∵AE=2AC=6，

∴∠AEC=30°，AE=AD，

∴∠AED=60°，

∴△AED是等邊三角形，

∴∠A=60°，

∵，

∴ ，

∴AE∥BC，∠BOC=60°，

∴S△OBC=S△EBC，

∴S陰影=S扇形=．