Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、軸分別交于點,，將點繞坐標原點順時針旋轉得點，解答下列問題:

（1）求出點的坐標，并判斷點是否在直線l上；

（2）若點在x軸上，坐標平面內是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），點在直線l上，見解析；（2）存在，點坐標為：，或，或或.

【解析】

（1）依題意作出點，過C點作CH⊥OA，旋轉性質可得，由30°直角三角形性質可求出HC=，OH=3，即可得出C點坐標，將C點坐標代入解析式驗證，符合解析式即可判定C在直線l上.

即可求解；

（2）分是菱形的一條邊、是菱形的一條對角線兩種情況，分別根據點平移的規律求解即可．

解：（1）設將點繞坐標原點順時針旋轉得點，

直線，令，則，令，則，

則點、的坐標分別為、，，

則，，

∵，OC=OB=，

∴，

過C點作CH⊥OA，

∴HC=，OH=3

點C的坐標為；

∵當x=3時，=.

∴點的坐標在直線l上.

（2）存在，理由：

點、的坐標分別為、，則，以、、、為頂點的四邊形是菱形如圖所示，

①當是菱形的一條邊時，當點在x軸上方，

當菱形為時，則，則點，；

當菱形為時，點，；

當點在x軸下方，

同理可得：點；

②當是菱形的對角線時，

設點，點，

則的中點即為的中點，且（即，

，，，

解得：，，，

故點；

綜上，點坐標為：，或，或或．