Question

如圖，在⊙M中，弧AB所對的圓心角為120°，已知⊙M的半徑為2cm，并建立如圖所示的直角坐標系．
（1）求圓心M的坐標；
（2）求經過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（3）點D是弦AB所對的優弧上一動點，求四邊形ACBD的最大面積．

Answer 1

分析：（1）連接MA，MB，根據等腰三角形的性質可知∠AMO=

1

2

AMB=60°，由直角三角形的性質可求出M點的坐標．
（2）根據△AOM與△BOM是直角三角形，∠AMO=∠BMO=60°，可求出A、B兩點的坐標，因為A、B兩點關于y軸對稱，故此拋物線關于y軸對稱，根據此特點可設出拋物線的解析式，把A、B兩點的坐標代入即可求出未知數的值，從而求出其解析式．
（3）因為四邊形ACBD的面積等于△ABC與△ABD的面積之和，而△ABC的面積為定值，△ABD的底邊長為定值，故當△ABD的高最長時四邊形的面積最大．根據直徑是最長的弦可知當D在y軸上時△ABD的高最長．根據三角形的面積公式及圓的半徑長可計算出四邊形的面積．

解答：解：（1）連MA，MB，
∵MA=MB OM⊥AB∠AMB=120°
∴∠BMO=

1

2

∠AMB=60°
∴∠OBM=30°  2分
∴OM=

1

2

MB=1  1分
∴M（0，1）1分

（2）∵OC=MC-MO=1  OB=

MB2-OM2

=

3

∴C（0，-1）B（

3

，O）  2分
∵經過A，B，C三點的拋物線關于y軸對稱
∴設經過A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax²+c  1分
把C（0，-1）和（

3

，0）分別代入上式
得：a=

1

3

，c=-1   1分
∴y=

1

3

x²-1．   1分

（3）∵S_{四邊形ACBD=}S_△ABC+S_△ABD，又S_△ABC與AB均為定值1分
∴當△ABD邊上的高最大時，S_△ABD最大，
此時點D為⊙M與y軸交點，由于⊙M的半徑為2cm，OM=1cm
∴OD=3cm，
此時S_{四邊形ACBD=}S_△ABC+S_△ABD=

1

2

×2

3

×1+

1

2

×2

3

×3=

3

+3

3

=4

3

cm²．

點評：本題考查的是圓的性質及二次函數圖象上點的坐標特點，比較復雜，但難度適中．