Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a，ka+b）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P的“k關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．

（1）求點(diǎn)P（﹣2，3）的“2關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P′的坐標(biāo)；

（2）若a、b為正整數(shù)，點(diǎn)P的“k關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（3，6），求出k及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)A在函數(shù)y=﹣（x＜0）的圖象上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)A是點(diǎn)B的“﹣關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，當(dāng)線段BQ最短時(shí)，求B點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）P′（﹣，﹣1）；（2）k=2，P′（1，4）、（2，2）；（3）B（，）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題中的新定義求出點(diǎn)P（﹣2，3）的“2關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P′的坐標(biāo)即可；

（2）根據(jù)題中的新定義求出a與b的關(guān)系式即可；

（3）根據(jù)題意得出A（a﹣，﹣a+b），代入y=﹣（x＜0），求得b=a+2，從而求得B在直線y=x+2上，過Q作y=x+2的垂線QB1，垂足為B1，Q（0，4），且線段BQ最短，B1即為所求的B點(diǎn)，由△MB1Q∽△MON 得==，由ON=2，OM=2，根據(jù)勾股定理求得MN=4．由MQ=2，求得B1Q=，MB1=3，在Rt△MB1Q中，根據(jù)面積公式得到B1QMB1=MQhB1，即可求得B的坐標(biāo)．

解：（1）∵x=﹣2+=﹣，y=2×（﹣2）+3=﹣1，

∴P′（﹣，﹣1）；

（2）設(shè)P（a，b），則P′（a+，ka+b）

∴，

∴k=2，

∴2a+b=6．

∵a、b為正整數(shù)

∴P′（1，4）、（2，2）；

（3）∵B的“﹣關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是A，

∴A（a﹣，﹣a+b），

∵點(diǎn)A還在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上，

∴（﹣a+b）（a﹣）=﹣4，

∴（b﹣a）2=12，

∵b﹣a＞0，

∴b﹣a=2，

∴b=a+2；

∴B在直線y=x+2上．

過Q作y=x+2的垂線QB1，垂足為B1，

∵Q（0，4），且線段BQ最短，

∴B1即為所求的B點(diǎn)，

由△MB1Q∽△MON 得==，

∵ON=2，OM=2，

∴MN=4．

又∵MQ=2，

∴B1Q=，MB1=3

在Rt△MB1Q中，B1QMB1=MQhB1，

∴hB1=，

∴xB1=，

∴B（，）．