Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，連接AE，BF交于點G，將△BCF沿BF對折，得到△BPF，延長FP交BA延長線于點Q，下列結論正確的個數是（ ）
①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP= ；④S四邊形ECFG=2S△BGE ．

A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵E，F分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正確；
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF，故②正確；
根據題意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令PF=k（k＞0），則PB=2k
在Rt△BPQ中，設QB=x，
∴x2=（x﹣k）2+4k2 ，
∴x= ，
∴sin=∠BQP= = ，故③正確；
∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∵BE= BC，BF= BC，
∴BE：BF=1： ，
∴△BGE的面積：△BCF的面積=1：5，
∴S四邊形ECFG=4S△BGE ， 故④錯誤．
故選：B．
【考點精析】認真審題，首先需要了解相似三角形的性質(對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形)．