Question

【題目】（1）已知：如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D,CE⊥AB于E，M是BC的中點.求證：MD=ME.

（2）已知：如圖，O是△ABC內任意一點，且滿足∠1＝∠2，OD⊥AC于D, OE⊥AB于E，M是BC的中點。仿照第⑴問的思路，結合三角形中位線定理，平行四邊形的性質與判定，求證：MD=ME.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解.

【解析】

（1）由BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，則△BCD，△BCE是直角三角形，由點M是BC中點，即可得到EM=DM=；

（2）分別取BO中點F、CO中點G，連接EF、FM、DG、GM，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到EF=BF=OF=OB，DG=OG=CG=OC，然后根據(jù)∠1=∠2，得到∠EFO=∠DGO；由三角形中位線定理，得到四邊形OFMG是平行四邊形，則∠OFM=∠OGM，從而得到∠EFM=∠DGM，利用SAS證明△EFM≌△MGD，即可得到結論成立.

證明：（1）如圖，

∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，

∴△BCD，△BCE是直角三角形，

∵點M是BC中點，

∴ME，MD分別是直角三角形△BCE和△BCD的中線，

∴EM=DM=；

（2）如圖，分別取BO中點F、CO中點G，連接EF、FM、DG、GM，

∵OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，

∴△OBE、△OCD是直角三角形，

∵點F為OB中點，點G為OC中點，

∴EF=BF=OF=OB，DG=OG=CG=OC，

∴∠1=∠BEF，∠2=∠CDG，

∴∠EFO=2∠1，∠DGO=2∠2，

∵∠1＝∠2，

∴∠EFO=∠DGO，

∵點M是BC的中點，

∴FM和GM都是△OBC的中位線，

∴FM=OC=OG=DG，GM=OB=OF=EF，

∴四邊形OFMG是平行四邊形，

∴∠OFM=∠OGM，

∴∠EFO+∠OFM=∠DGO+∠OGM，

即∠EFM=∠DGM，

∵FM=DG，EF=MG，

∴△EFM≌△MGD（SAS），

∴EM=MD.