Question

【題目】已知：如圖1，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）．

（1）四邊形EFGH的形狀是 ，證明你的結論．

（2）如圖2，請連接四邊形ABCD的對角線AC與BD，當AC與BD滿足 條件時，四邊形EFGH是矩形；證明你的結論．

（3）你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形EFGH是平行四邊形；（2）見解析；（3）平行四邊形；互相垂直．

【解析】

試題分析：（1）連接BD，根據三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知當四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD的條件時，四邊形EFGH是矩形；

（3）菱形的中點四邊形是矩形．根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根據矩形的每一個角都是直角可得∠1=90°，然后根據平行線的性質求出∠3=90°，再根據垂直定義解答．

解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：

如圖1，連結BD．

∵E、H分別是AB、AD中點，

∴EH∥BD，EH=BD，

同理FG∥BD，FG=BD，

∴EH∥FG，EH=FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）當四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直的條件時，四邊形EFGH是矩形．理由如下：

如圖2，連結AC、BD．

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，

∴EH∥BD，HG∥AC，

∵AC⊥BD，

∴EH⊥HG，

又∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴平行四邊形EFGH是矩形；

（3）菱形的中點四邊形是矩形．理由如下：

如圖3，連結AC、BD．

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，

∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=BD，FG=BD，

∴EH∥FG，EH=FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵EH∥BD，HG∥AC，

∴EH⊥HG，

∴平行四邊形EFGH是矩形．

故答案為：平行四邊形；互相垂直．