Question

【題目】在菱形中，分別為邊，，，上的點（不與端點重合）．對于任意菱形，下面四個結論中：①存在無數個四邊形是平行四邊形；②存在無數個四邊形是菱形；③存在無數個四邊形是矩形；④存在無數個四邊形是正方形；所有正確結論的序號是______．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

根據菱形的判定和性質，矩形的判定，正方形的判定，平行四邊形的判定定理即可得到結論．

解：①如圖，∵四邊形ABCD是菱形，連接AC，BD交于O，
過點O作直線MP和QN，分別交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，

由對稱性可得：OM=OP，ON=OQ，
則四邊形MNPQ是平行四邊形，由于是直線MP和QN是任意所作，
故存在無數個四邊形MNPQ是平行四邊形；故正確；

②當MP⊥NQ時，四邊形MNPQ是菱形，

由于MP是任意所作，當MP繞點O旋轉一定角度時，且都存在NQ⊥MP，

故存在無數個四邊形是菱形；故正確；

③當MP=NQ時，四邊形MNPQ是矩形，

由于MP是任意所作，只要以O為圓心，OM為半徑的圓與菱形ABCD有交點，則都存在NQ=MP，

故存在無數個四邊形是矩形；故正確；

④當四邊形ABCD是正方形時，
則∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，

當AM=BN=CP=DQ時，

由AB=BC=CD=DA，

可得：AQ=BM=CN=DP，

在△AMQ和△BNM中，

，

∴△AMQ≌△BNM（SAS），

∴∠AMQ=∠BNM，∠AQM=∠BMN，MQ=MN，

∵∠BMN+∠BNM=90°，

∴∠BMN+∠AMQ=90°，

∴∠NMQ=90°，

∵MQ=MN，

∴此時四邊形MNPQ為正方形，

故只有當四邊形ABCD為正方形時，存在四邊形是正方形，故錯誤.

故答案為：①②③.