Question

【題目】如圖，將含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）繞其直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C與AB交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥A′B′交CB′于點(diǎn)E，連接BE．易知，在旋轉(zhuǎn)過程中，△BDE為直角三角形．設(shè)BC＝1，AD＝x，△BDE的面積為S．

（1）當(dāng)α＝30°時(shí)，求x的值．

（2）求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（3）以點(diǎn)E為圓心，BE為半徑作⊙E，當(dāng)S＝時(shí)，判斷⊙E與A′C的位置關(guān)系，并求相應(yīng)的tanα值．

Answer 1

【答案】(1)x=1;(2)S= ;(3)

【解析】

(1)根據(jù)等腰三角形的判定, ∠A＝∠a＝30°，得出 x＝1.(2)由直角三角形的性質(zhì),AB=2,AC=,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求得△ADC∽△BEC,根據(jù)比例關(guān)系式,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.(3)當(dāng)s＝s△ABC時(shí),求得x的值,判斷⊙E和DE的長度大小,確定⊙E與A′C的位置關(guān)系,再求tanα值.

解：（1）∵∠A＝∠a＝30°，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠BCD＝60°．

∴AD＝BD＝BC＝1．

∴x＝1；

（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠A＝∠CBE＝30°．

∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC＝A′C，BC＝B′C，

∠ACD＝∠BCE，

∴△ADC∽△BEC，

∴＝，

∴BE＝x．

∵BD＝2﹣x，

∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）

（3）∵s＝s△ABC

∴﹣+＝，

∴4x2﹣8x+3＝0，

∴，．

①當(dāng)x＝時(shí)，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．

∴DE＝＝．

∵DE∥A′B′，

∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．

∴EC＝DE＝＞BE，

∴此時(shí)⊙E與A′C相離．

過D作DF⊥AC于F，則，．

∴．

∴． （12分）

②當(dāng)時(shí)，，．

∴，

∴，

∴此時(shí)⊙E與A'C相交．

同理可求出．