Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；
（3）點M是x軸上的一個動點，當△DCM的周長最小時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點A（﹣1，0）在拋物線 上，

∴ ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為 ．

∵ ，

∴頂點D的坐標為

（2）解：△ABC是直角三角形．理由如下：

當x=0時，y=﹣2，

∴C（0，﹣2），則OC=2．

當y=0時， ，

∴x1=﹣1，x2=4，則B（4，0），

∴OA=1，OB=4，

∴AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形

（3）解：作出點C關于x軸的對稱點C′，則C'（0，2）．

連接C′D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，CD一定，當MC+MD的值最小時，△CDM的周長最小．

設直線C′D的解析式為y=ax+b（a≠0），則

，

解得 ，

∴ ．

當y=0時， ，則 ，

∴ ．

【解析】（1）把點A的坐標代入拋物線解析式，列出關于系數b的方程，通過解方程求得b的值；利用配方法把拋物線解析式轉化為頂點式方程，根據該解析式直接寫出頂點D的坐標；（2）利用點A、B、C的坐標來求線段AB、AC、BC的長度，得到AC2+BC2=AB2，則由勾股定理的逆定理推知△ABC是直角三角形；（3）作出點C關于x軸的對稱點C′，則C'（0，2）．連接C′D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，CD一定，當MC+MD的值最小時，△CDM的周長最小．利用待定系數法求得直線C′D的解析式，然后把y=0代入直線方程，求得 ．