Question

【題目】已知關于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣1＝0（1）只有整數根，且關于y的一元二次方程（k﹣1）y2﹣3y+m＝0（2）有兩個實數根y1和y2

（1）當k為整數時，確定k的值；

（2）在（1）的條件下，若m＞﹣2，用關于m的代數式表示y12+y22．

Answer 1

【答案】（1）k＝0，k＝﹣1；（2）當m＞﹣2時，y12+y22＝（y1+y2）2﹣2y1y2＝9+2m.

當m≥﹣時，有y12+y22＝（y1+y2）2﹣2y1y2＝+m．

【解析】

（1）要分兩種情況討論：

①k=0時，（1）方程為一元一次方程，可計算出此時方程的根是否為整數，若是，則k=0符合要求；

②k≠0時，（1）方程為一元二次方程，用因式分解法求出該方程的兩個根，再根據這個方程只有整數根的特點，求出k的整數值，再根據的判別式將不合題意的k值舍去．

（2）將（1）得出的k值代入方程（2）中，首先根據根的判別式判斷出m的范圍，然后用根與系數的關系表示出所求的代數式的值．

解：（1）當k＝0時，方程（1）化為﹣x﹣1＝0，x＝﹣1，方程有整數根

當k≠0時，方程（1）可化為（x+1）（kx+k﹣1）＝0

解得x1＝﹣1，x2＝ ＝﹣1+；

∵方程（1）的根是整數，所以k為整數的倒數．

∵k是整數

∴k＝±1

此時△＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣1）＝1＞0

但當k＝1時，（k﹣1）y2﹣3y+m＝0不是一元二次方程

∴k＝1舍去

∴k＝0，k＝﹣1；

（2）當k＝0時，方程（2）化為﹣y2﹣3y+m＝0

∵方程（2）有兩個實數根

∴△＝9+4m≥0，即m≥﹣，又m＞﹣2

∴當m＞﹣2時，y12+y22＝（y1+y2）2﹣2y1y2＝9+2m；

當k＝﹣1時，方程（2）化為﹣2y2﹣3y+m＝0，方程有兩個實數根

∴△＝9+8m≥0，即m≥﹣

∵m＞﹣2，

∴當﹣2＜m＜﹣時，方程（2）無實數根

當m≥﹣時，有y12+y22＝（y1+y2）2﹣2y1y2＝+m．