Question

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．現有一點D，
使得∠CDB＝∠CAB，DB＝CB．

（1）請用尺規作圖的方法確定點D的位置（保留作圖痕跡，可簡要說明作法）；
（2）連接CD，與AB交于點E，求∠BEC的度數；
（3）以A為圓心AB長為半徑作⊙A，點O在直線BC上運動，且以O為圓心r為半徑的⊙O與⊙A相切2次以上，請直接寫出r應滿足的條件．

Answer 1

（1）（2）∠BEC＝90
（3）當0＜r＜2時，⊙O與⊙A相切4次；
當r＝2時，⊙O與⊙A相切3次；
當r＝8時，⊙O與⊙A相切3次；
當r＞8時，⊙O與⊙A相切4次．

試題分析：（1）如圖，點D為所求．

（2）∵DB＝CB，∴∠DCB＝∠CDB．
又∵∠CDB＝∠CAB，∴∠DCB＝∠CAB．
∵∠CAB＋∠CBA＝90°，∴∠DCB＋∠CBA＝90°．即∠BEC＝90°．
（3）當0＜r＜2時，⊙O與⊙A相切4次；
當r＝2時，⊙O與⊙A相切3次；
當r＝8時，⊙O與⊙A相切3次；
當r＞8時，⊙O與⊙A相切4次．作圖分析更直觀
點評：本題難度中等，主要考查學生尺規作圖能力和圓的相切知識點的掌握。根據兩圓半徑長度作圖分析兩圓位置關系為解題關鍵。