Question

如圖1，已知正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，過O點作OE⊥OF分別交DC于E，交BC于F，∠FEC的角平分線EP交直線AC于P．
（1）①求證：OE=OF；
②寫出線段EF、PC、BC之間的一個等量關系式，并證明你的結論；
（2）如圖2，當∠EOF繞O點逆時針旋轉一個角度，使E、F分別在CD、BC的延長線上，請完成圖形并判斷（1）中的結論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應的結論（所寫結論均不必證明）．

Answer 1

（1）①∵OE⊥OF，且正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，
∴∠BOF=∠EOC，OB=OC，∠OBF=∠OCE，
∴△BOF≌△COE，
∴OE=OF．
②EF+

2

CP=BC，
證明：∵△BOF≌△COE，
∴OE=OF，∠OEF=∠OFE=45°．
∵∠FEC的角平分線EP交直線AC于P，
∴∠FEP=∠CEP．
∵∠OPE是△CPE的外角，
∴∠OPE=∠PCE+∠CEP=45°+∠CEP，
∵∠OEF=45°，∠OEP=∠OEF+∠FEP=45°+∠FEP
∴∠OEP=∠OPE．
∴OE=OP．
∴EF=

2

OE=

2

OP．
∵BC=

2

OC=

2

（OP+CP），
∴EF+

2

CP=BC．

（2）①成立．
②不成立應為EF-

2

CP=BC．
圖形如圖所示，
證明如下：∠OEP=45°-∠CEP，
又∵∠ECP=90°，
∴∠CQP=∠ECQ+∠CEP=90°+∠CEP．
∵∠QCP=∠BCO=45°，
∴∠P=180°-∠CQP-∠QCP=45°-∠CEP．
∴∠P=∠OEP．
∴OE=OP．
∴EF=

2

OE=

2

OP．
∵BC=

2

OC=

2

（OP-CP），
∴EF-

2

CP=BC．