Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點Q在BC上，BQ＝2，點P是AB上的一個動點，連接PQ，將△PBQ沿PQ翻折，點B落在點B′．

（1）當AP＝　 　時，四邊形PBQB′的面積是矩形面積的；

（2）當AP為何值時，四邊形PBQB′是正方形？為什么？

（3）在翻折過程中是否存在AP的值，使得點B′與矩形對稱中心點O重合，如果存在，請求出AP的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）當AP為2時，四邊形PBQB'是正方形；（3）存在，AP＝4﹣，

【解析】

（1）先求得矩形ABCD的面積，可知S四邊形PBQB'＝6，根據折疊性質可知△PBQ的面積為3，利用三角形面積公式即可解決問題；

（2）利用正方形的性質即可解答；

（3）利用勾股定理求得BD，再利用矩形性質即可知BO，在利用勾股定理求得BE；最后利用相似即可解決問題.

解：（1）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，

∴S矩形ABCD＝ABBC＝4×3＝12，

∵四邊形PBQB′的面積是矩形面積的，

∴S四邊形PBQB'＝S矩形ABCD＝×12＝6，

由折疊知，△PBQ≌△PB'Q，

∴S△PBQ＝S△PB'Q＝S四邊形PBQB'＝3，

∴BQ＝3，

∴S△PBQ＝BQBP＝×2BP＝3，

∴BP＝3，

∴AP＝AB﹣BP＝3，

故答案為：3；

（2）∵四邊形PBQB′是正方形，

∴BP＝BQ＝2，

∴AP＝AB﹣BP＝4﹣2＝2，

即：當AP為2時，四邊形PBQB'是正方形；

（3）存在，理由：如圖，

連接BD，交PQ于E，則BD必過點O，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC＝3，

根據勾股定理得，BD＝，

∵O是矩形ABCD的中心，

∴BO＝BD＝×5＝，

當點B′與矩形對稱中心點O重合時，BE＝BO＝，

由折疊知，BO⊥PQ，

∴∠BEQ＝90°，

在Rt△BEQ中，BQ＝2，

根據勾股定理得，EQ＝ ，

∵∠BEQ＝∠PBQ＝90°，∠BQE＝∠PQB，

∴△BEQ∽△PBQ，

∴ ，

∴，

∴PB＝ ，

∴AP＝AB﹣PB＝4﹣，