Question

直角坐標系中O是原點，梯形OABC各頂點的坐標如圖所示，
（1）直接寫出OA所在直線的解析式；
（2）求經過O、A、C三點的拋物線解析式；
（3）試在（2）中的拋物線上找一點D，使得以D、O、C為頂點的三角形與△AOC全等，請直接寫出D的坐標；
（4）設P點從原點O出發，以每秒2個單位的速度沿折線O→A→B向終點B運動，求從出發起運動了t秒時P點的坐標及相應t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直線OA的解析式是y=kx，把A（3，4）代入求出k即可；
（2）經過O、A、C三點的拋物線解析式是y=a（x-0）（x-12），把A（3，4）代入求出a即可；
（3）求出拋物線的對稱軸（直線x=6），根據全等得出OC=OC，A和D是對應點，根據對稱的性質得出A與D關于x=6對稱時，所得的三角形和△ACO全等，根據A的坐標即可求出D的坐標；
（4）求出AO、AB，分為兩種情況：①當P在OA上時，根據sin∠AOC=

AH

OA

=

4

5

=

PN

OP

，cos∠AOC=

OH

OA

=

3

5

=

ON

OP

，求出PN=

8

5

t，ON=

6

5

t，即可得出答案；②當P在AB上時，即可得出P的縱坐標是4，橫坐標是2t-5．

解答：解：（1）設直線OA的解析式是y=kx，
把A（3，4）代入得：k=

4

3

，
∴OA所在直線的解析式是y=

4

3

x．

（2）∵O（0，0），C（12，0），
∴設經過O、A、C三點的拋物線解析式是y=a（x-0）（x-12），
把A（3，4）代入得：4=a（3-0）×（3-12），
解得：a=-

4

27

，
∴y=-

4

27

（x-0）（x-12）=-

4

27

x²+

16

9

x，
答：經過O、A、C三點的拋物線解析式是y=-

4

27

x²+

16

9

x．

（3）∵y=-

4

27

x²+

16

9

x=-

4

27

（x-6）²+

16

3

，
∴拋物線的對稱軸是直線x=6，
∵在拋物線上找一點D，使得以D、O、C為頂點的三角形與△AOC全等，A（3，4）
∴OC=OC，D于A是對應點，
∴當且僅當A、D關于直線x=6對稱時，以以D、O、C為頂點的三角形才與△AOC全等，
即6-3=3，6+3=9，
∴D的坐標是（9，4）．

（4）過A作AH⊥OC于H，PN⊥OC于N，
∵A（3，4），B（11，4），
∴AB∥x軸，
∴由勾股定理得：OA=5，
分為兩種情況：
①當P在OA上時，OP=2t，sin∠AOC=

AH

OA

=

4

5

=

PN

OP

，cos∠AOC=

OH

OA

=

3

5

=

ON

OP

，
解得：PN=

8

5

t，ON=

6

5

t，
∴P的坐標是（

6

5

t，

8

5

t）；
∵OA=5，
2t=5，
t=2.5，
∴此時t的范圍是0≤t≤2.5
②當P在AB上時，P的縱坐標是4，橫坐標是OH+HM=3+2（t-2.5）=2t-2，
即P的坐標是（2t-2，4），
∵11-3=8，8+5=13，13×

1

2

=6.5
∴此時t的范圍是2.5≤t≤6.5．

點評：本題考查了用待定系數法求正比例函數、二次函數的解析式，全等三角形的性質和判定，勾股定理，解直角三角形等知識點的應用，主要考查學生綜合運用這些性質進行計算的能力，題目綜合性比較強，有一定的難度．用了分類討論思想．