Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2-3ax-2交x軸于A、B（A左B右）兩點，交y軸于點C，過C作CD∥x軸，交拋物線于點D，E(-2，3)在拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為第一象限拋物線上一點，過點P作PF⊥CD，垂足為F，連接PE交y軸于G，求證：FG∥DE；

（3）如圖2，在（2）的條件下，過點F作FM⊥PE于M．若∠OFM=45°，求P點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-2；（2）見解析；（3）點P坐標為(6，7)

【解析】

（1）把點E坐標代入拋物線解析式即求得a的值；

（2）由拋物線解析式求點A、B、C、D的坐標，直接求得直線DE解析式為y=-x+1．設點P橫坐標為t，即得到點F（t，-2）．把t當常數用待定系數法求直線PE解析式，進而求得用t表示的點G縱坐標，再用待定系數法求直線FG解析式，解得FG解析式的一次項系數為-1，與直線DE相等，所以FG∥DE；

（3）延長FO、PE相交于點N，由FM⊥PE于M且∠OFM=45°可證得△MNF為等腰直角三角形，故有FM=MN．過點M作MG⊥PF于點G，過點N作NH⊥PM于點H，即構造出△FGM≌△MHN，進而有FG=MH，MG=NH．設點M橫坐標為m，由（2）求得的直線PE解析式可得M的縱坐標，進而得到用t和m表示的MG、FG．求直線OF解析式，聯立直線OF與直線PE求得用t表示的交點N坐標，進而得到用t和m表示的MH、NH．代入FG=MH，MG=NH即得到關于t、m的二元方程組，解方程組并考慮t的范圍即求得點P坐標．

解：（1）∵E（-2，3）在拋物線y=ax2-3ax-2上

∴4a+6a-2=3

解得：a=

∴拋物線解析式為y=x2-x-2

（2）證明：∵y=x2-x-2=0時，解得：x1=-1，x2=4

∴A（-1，0），B（4，0）

∵x=0時，y=x2-x-2=-2

∴C（0，-2）

∵點D在拋物線上，且CD∥x軸

∴D（3，-2）

設直線DE解析式為y=kx+b

∴解得：

∴直線DE：y=-x+1

∵點P為第一象限拋物線上一點

∴設點P坐標為（t，t2-t-2）（t＞4）

設直線PE解析式為y=cx+d

∴解得：

∴直線PE：y=x+t-2，直線PE與y軸交點G（0，t-2）

∵PF⊥CD于點F

∴F（t，-2）

設直線FG解析式為y=ex+t-2

把點F代入得：te+t-2=-2

解得：e=-1

∴FG∥DE

（3）延長FO、PE相交于點N，過點M作MG⊥PF于點G，過點N作NH⊥PM于點H

∴∠FGM=∠MHN=90°

∵FM⊥PE于M

∴∠FMN=90°

∴∠FMG+∠NMH=∠MNH+∠NMH=90°

∴∠FMG=∠MNH

∵∠OFM=45°

∴∠MNF=180°-∠FMN-∠OFM=45°

∴FM=MN

在△FGM與△MHN中

∴△FGM≌△MHN（AAS）

∴FG=MH，MG=NH

∵F（t，-2）

∴直線OF：y=-x

∵點M在直線PE：y=x+t-2上

∴設M（m，m+t-2）

∴MG=t-m，FG=m+t-2-（-2）=m+t

∵解得：

∴N（，）

∴MH=m-，NH=m+t-2-

∴

解得：（舍去）

∴yP=×36-×6-2=7

∴點P坐標為（6，7）.