Question

【題目】如圖，正方形中，點是邊的中點，交于點,交于點，則下列結論：①；②；③；④，其中正確的答案是____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

首先根據正方形的性質證得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，再證△ADH≌△CDH，求得∠HAD=∠HCD，推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE中根據三角形的內角和是180°求得∠AGE=90°即可得到①正確．根據tan∠ABE=tan∠EAG=，得到AG=BG，GE=AG，于是得到BG=4EG，故②正確；根據AD∥BC，求出S△BDE=S△CDE，推出S△BDE-S△DEH=S△CDE-S△DEH，即：S△BHE=S△CHD，故③正確；由∠AHD=∠CHD，得到鄰補角和對頂角相等得到∠AHB=∠EHD，故④正確；

解：∵四邊形ABCD是正方形，E是AD邊上的中點，

∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，

∴△BAE≌△CDE（SAS），

∴∠ABE=∠DCE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，DH=DH，

∴△ADH≌△CDH（SAS），

∴∠HAD=∠HCD，

∵∠ABE=∠DCE

∴∠ABE=∠HAD，

∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°，

∴∠ABE+∠BAH=90°，

∴∠AGB=180°-90°=90°，

∴AG⊥BE，故①正確；

∵tan∠ABE=tan∠EAG=，

，

∴BG=4EG，故②正確；

∵AD∥BC，

∴S△BDE=S△CDE，

∴S△BDE-S△DEH=S△CDE-S△DEH，

即；S△BHE=S△CHD，故③正確；

∵△ADH≌△CDH，

∴∠AHD=∠CHD，

∴∠AHB=∠CHB，

∵∠BHC=∠DHE，

∴∠AHB=∠EHD，故④正確；

故答案為①②③④．