Question

【題目】如圖，我們把一個半圓和拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”，已知分別為“果圓”與坐標軸的交點，直線與“果圓”中的拋物線交于兩點

(1)求“果圓”中拋物線的解析式，并直接寫出“果圓”被軸截得的線段的長；

(2)如圖，為直線下方“果圓”上一點，連接，設與交于，的面積記為，的面積即為，求的最小值

(3)“果圓”上是否存在點，使，如果存在，直接寫出點坐標，如果不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】(1)；6；(2)有最小值；(3)，.

【解析】

（1）先求出點B，C坐標，利用待定系數法求出拋物線解析式，進而求出點A坐標，即可求出半圓的直徑，再構造直角三角形求出點D的坐標即可求出BD；
（2）先判斷出要求的最小值，只要CG最大即可，再求出直線EG解析式和拋物線解析式聯立成的方程只有一個交點，求出直線EG解析式，即可求出CG，結論得證．
（3）求出線段AC，BC進而判斷出滿足條件的一個點P和點B重合，再利用拋物線的對稱性求出另一個點P．

解:(1) 對于直線y=x-3，令x=0，
∴y=-3，
∴B（0，-3），
令y=0，
∴x-3=0，
∴x=4，
∴C（4，0），
∵拋物線y=x2+bx+c過B，C兩點，

∴

∴

∴拋物線的解析式為y=;

令y=0，
∴=0,

∴x=4或x=-1，
∴A（-1，0），
∴AC=5，
如圖2，記半圓的圓心為O'，連接O'D，

∴O'A=O'D=O'C=AC=，
∴OO'=OC-O'C=4-=,
在Rt△O'OD中，OD==2,

∴D（0，2），
∴BD=2-（-3）=5；

(2) 如圖3，

∵A（-1，0），C（4，0），
∴AC=5，
過點E作EG∥BC交x軸于G，
∵△ABF的AF邊上的高和△BEF的EF邊的高相等，設高為h，
∴S△ABF=AFh，S△BEF=EFh，

∴==

∵的最小值，

∴最小，

∵CF∥GE，

∴

∴最小，即：CG最大，

∴EG和果圓的拋物線部分只有一個交點時，CG最大，
∵直線BC的解析式為y=x-3，
設直線EG的解析式為y=x+m①，
∵拋物線的解析式為y=x2-x-3②，
聯立①②化簡得，3x2-12x-12-4m=0，
∴△=144+4×3×（12+4m）=0，
∴m=-6，
∴直線EG的解析式為y=x-6，
令y=0，
∴x-6=0，
∴x=8，
∴CG=4，

∴=；

(3)，.理由：

如圖1，∵AC是半圓的直徑，
∴半圓上除點A，C外任意一點Q，都有∠AQC=90°，
∴點P只能在拋物線部分上，
∵B（0，-3），C（4，0），
∴BC=5，
∵AC=5，
∴AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
當∠APC=∠CAB時，點P和點B重合，即：P（0，-3），
由拋物線的對稱性知，另一個點P的坐標為（3，-3），
即：使∠APC=∠CAB，點P坐標為（0，-3）或（3，-3）．