Question

如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的邊AB在x軸上，∠ABC=90°，AB=BC，OA=1，OB=4，拋物
線經過A、C兩點．
（1）求拋物線的解析式及其頂點坐標；
（2）如圖①，點P是拋物線上位于x軸下方的一點，點Q與點P關于拋物線的對稱軸對稱，過點P、Q分別向x軸作垂線，垂足為點D、E，記矩形DPQE的周長為d，求d的最大值，并求出使d最大值時點P的坐標；
（3）如圖②，點M是拋物線上位于直線AC下方的一點，過點M作MF⊥AC于點F，連接MC，作MN∥BC交直線AC于點N，若MN將△MFC的面積分成2：3兩部分，請確定M點的坐標．

Answer 1

（1），（1，）；（2）（0，）或（2，）；（3）或.

解析試題分析：（1）根據曲線上點的坐標與方程的關系，將A（，0）C(4,5)代入得方程組，解之即可得拋物線的解析式；化為頂點式即可得頂點坐標.
（2）點P為，分和，把矩形DPQE的周長表示為的二次函數，應用二次函數最值原理求解即可.
（3）分和兩種情況討論即可.
（1）由已知得：A（，0）、C（4，5），
∵二次函數的圖像經過點A（-1，0）C(4,5)，
∴ ， 解得.
∴拋物線解析式為.
∵，∴頂點坐標為（1，）.
（2）如答圖①，由（1）知拋物線的對稱軸為直線x=1，
設點P為，
∵P、Q為拋物線上的對稱點，∴.
當時，，
∵，∴當t=2使，d有最大值為10，即點P為（2，）
當時，由拋物線的軸對稱性得，點P為（0，）時，d有最大值10
綜上所述，當P為（0，）或（2，）時，d有最大值10  
（3）如答圖②，過點F作FH⊥MN于H，過C作CG⊥MN于G，則∠ANM=∠ACB=45°.
∵MF⊥AC，∴ . ∴.
∵A(，0)，C(4，5），∴直線AC解析式為y=x+1.
設點M為，則CG=4－m.
由MN∥BC得點N為（m，m+1），
∴.
當時，有3MN="4CG" ，即，
解得：（舍去）.
∴點M為.    
當時，有MN=3CG， 即，
解得：（舍去）.
∴點M為.
綜上所述，當M為或時，MN將△MFC的面積分成2：3兩部分.       

考點：1.二次函數綜合題；2.曲線上點的坐標與方程的關系；3.二次函數的性質；4.解一元二次方程；5.分類思想的應用.