Question

如圖①，在□ABCD中，對角線AC⊥AB，BC=10，tan∠B=2．點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)E，交折線AB-AD于點(diǎn)F，以EF為邊在其右側(cè)作正方形EFGH，使EH邊落在射線BC上．點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在BC邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（）秒．
（1）□ABCD的面積為          ；當(dāng)t=      秒時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)A重合；
（2）點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中，連接正方形EFGH的對角線EG，得△EHG，設(shè)△EHG與△ABC的重疊部分面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式以及對應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)Bˊ，連接CBˊ交AD邊于點(diǎn)M（如圖②），當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上時(shí)，EF與對角線AC交于點(diǎn)N，連接MN得△MNC．是否存在時(shí)間t，使△MNC為等腰三角形？若存在，請求出使△MNC為等腰三角形的時(shí)間t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）40；2            
（2） 
（3），或，或  

解析試題分析：
（1）考查學(xué)生利用平行四邊形和直角三角形解決基本問題的能力，運(yùn)用直角三角形勾股定理和三角函數(shù)即可得解．
（2）關(guān)鍵確定幾個(gè)分界點(diǎn)，通過題意及動(dòng)點(diǎn)所在位置，確定幾個(gè)分界，通過等式得出函數(shù)關(guān)系式．
（3）注意分類情況，可能是CN="CM" 或MN=MC或 MN=NC，分別解出即可．
試題解析：
（1）∵AC⊥AB，∴在Rt△BAC中BC=10，
tan∠B="2"
又
∴AC=，AB= ∴S_Rt△BAC=40
∴BE=2   ∴         
（2）依題意得分類可得，①當(dāng)△EHG與△ABC的重疊部分都
在△ABC內(nèi)部，S最大面積時(shí)，G落在AC上，則
△BEF∽△AFG，  AF=，BF=，AF+BF=，∴，S=（）
②當(dāng)F點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)， 即，利用相似三角形、線段相互關(guān)系和面積關(guān)系，得
S=
③當(dāng)F點(diǎn)過A點(diǎn)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，利用相似三角形、線段相互關(guān)系和面積關(guān)系，得
S=
④當(dāng)時(shí)，利用相似三角形、線段相互關(guān)系和面積關(guān)系，得
S=


（3）CM=CN時(shí)，
MC=MN時(shí)，
NM=NC時(shí)，   
考點(diǎn)：1．平行四邊形性質(zhì)；2．相似三角形判定及性質(zhì)定理；3．動(dòng)點(diǎn)與取值范圍的關(guān)系．