Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，Rt△OBC的兩條直角邊分別落在x軸、y軸上，且OB=1,OC=3,將△OBC繞原點O順時針旋轉90°得到△OAE，將△OBC沿y軸翻折得到△ODC，AE與CD交于點F.

（1）若拋物線過點A、B、C, 求此拋物線的解析式;
（2）求△OAE與△ODC重疊的部分四邊形ODFE的面積;
（3）點M是第三象限內拋物線上的一動點，點M在何處時△AMC的面積最大？最大面積是多少？求出此時點的坐標.

Answer 1

（1）過點A,B,C的拋物線的解析式；
（2）S_{四邊形ODFE}= ；
（3）當時，，△AMC的面積有最大值，此時點M的坐標為()．

試題分析：（1）由題意易得點A、點B、點C的坐標，利用待定系數法求解即可；
（2）先求出點D及點E的坐標，繼而得出直線AE與直線CD的解析式，聯立求出點F坐標，根據S_{四邊形ODFE}=S_△AOE﹣S_△ADF，可得出答案．
（3）連接OM，設M點的坐標為（m，n），繼而表示出△AMC的面積，利用配方法確定最值，并得出點M的坐標．
試題解析：(1)∵OB=1，OC="3" ，
∴C(0，-3)，B(1，0)，
∵△OBC繞原點順時針旋轉90°得到△OAE，
∴A(-3,0)，
所以拋物線過點A(-3，0)，C(0，-3)，B(1，0)，
設拋物線的解析式為，可得
解得，
∴過點A,B,C的拋物線的解析式；
(2) ∵△OBC繞原點順時針旋轉90°得到△OAE，△OBC沿y軸翻折得到△COD，
∴E（0，-1），D（-1,0），
可求出直線AE的解析式為,直線DC的解析式為，
∵點F為AE、DC交點，
∴F（，），
∴S_{四邊形ODFE}=S_△AOE-S_△ADF=；
（3）連接OM，設M點的坐標為，

∵點M在拋物線上，∴，
∴
=

∵，
∴當時，，△AMC的面積有最大值，
所以當點M的坐標為()時，△AMC的面積有最大值．