Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC與ED相交于點F.

(1)求證：梯形ABCD是等腰梯形；
(2)當AB與AC具有什么位置關系時，四邊形AECD是菱形？請說明理由，并求出此時菱形AECD的面積．

Answer 1

見解析

(1)證明：∵AD∥BC，
∴∠DEC＝∠EDA，
∠BEA＝∠EAD，
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠DEC＝∠AEB，
又∵EB＝EC，
∴△DEC≌△AEB，
∴AB＝CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
(2)解：當AB⊥AC時，四邊形AECD是菱形．
證明：∵AD∥BC，BE＝EC＝AD，
∴四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形．∴AB＝ED，∵AB⊥AC，
∴AE＝BE＝EC，∴四邊形AECD是菱形．
過A作AG⊥BE于點G，

∵AE＝BE＝AB＝2，
∴△ABE是等邊三角形，
∴∠AEB＝60°，∴AG＝，
∴S_菱形AECD＝EC·AG＝2×＝2.