Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線AC的解析式為y=﹣x+1，直線AC交x軸于點C，交y軸于點A．

（1）若等邊△OBD的頂點D與點C重合，另一頂點B在第一象限內，直接寫出點B的坐標；

（2）過點B作x軸的垂線l，在l上是否存在一點P，使得△AOP的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）試在直線AC上求出到兩坐標軸距離相等的所有點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）B（2，2）；（2）點P的坐標為（2，）；（3）在直線AC上求出到兩坐標軸距離相等的點的坐標為（，）或（﹣，）．

【解析】分析：如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線AC的解析式為y=﹣x+1，直線AC交x軸于點C，交y軸于點A．

（1）若等邊△OBD的頂點D與點C重合，另一頂點B在第一象限內，直接寫出點B的坐標；

（2）過點B作x軸的垂線l，在l上是否存在一點P，使得△AOP的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）試在直線AC上求出到兩坐標軸距離相等的所有點的坐標．

詳解：（1）在y=﹣x+1中，令y=0可求得x=4，

∴D（4，0），

過B作BE⊥x軸于點E，如圖1，

∵△OBD為等邊三角形，

∴OE=OD=2，BE=OB=2，

∴B（2，2）；

（2）∵等邊△OBD是軸對稱圖形，對稱軸為l，

∴點O與點C關于直線l對稱，

∴直線AC與直線l的交點即為所求的點P，

把x=2代入y=﹣x+1，得y=，

∴點P的坐標為（2，）；

（3）設滿足條件的點為Q，其坐標為（m，﹣m+1），

由題意可得﹣m+1=m或﹣m+1=﹣m，

解得m=或m=﹣，

∴在直線AC上求出到兩坐標軸距離相等的點的坐標為（，）或（﹣，）．